关于中点四边形结论的几点探索

天台县平桥镇前山中学   周文华 吕林娇

【摘要】国家数学课程标准的基本理念指出：“有效的学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践，合作交流是学生学习的重要方式。学生是学习的主人，教师是学习的组织者、引导者与合作者。”为此，笔者认为：教师应组织学生进行数学活动，动手实践，运用启发式引导学生进行探索与应用，教师应激发学生的学习积极性，应该让学生在学习活动中改变学习方式，使学生乐意并将更多的精力投入到探索研究的学习活动中去。按照新课程新理念，贯彻“自主、合作、探索、研究”精神，在探索中学会应用，在应用中学会探索，使不同的学生在数学上得到不同的发展。

【关键词】中点  四边形  对角线 

【正文】苏霍姆林斯基曾说：“在人的心灵深处，总有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者。”四边形作为最简单的多边形之一，我们曾对它作过不少研究，由于从四边形各边中点出发，进行放射性联想，可以推出许多有趣的结论，这样就给四边形各边中点增添了神奇的色彩；并利用现代信息技术工具，可以更方便地看到它们的动态变化，有助于更直观地发现结论。

一．情景探索，培养学生合作交流和探索能力

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E

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H

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G

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F

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D

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C

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A

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B

 创设问题情景，触景生情，先景夺声，先声夺人，引导学生进入探索中点四边形的神秘世界之中。苏霍姆林斯基也曾说：“好奇是寻求知识的强大源泉。”他指出应尽量地在学生眼前展现出暂时还不理解的有趣的新奇事物，展现越多，学生就越好奇，从而产生求知的欲望。教师可故意在知识的繁难处、关键处巧设情景，使学生感到困惑，展开讨论，从而提高学生研究问题的能力，让学生在疑惑中探究根源，在活动中让学生自己去观察、类比、发现、归纳，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与，乐于探究新知的目的。

【依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形】

若点E、F、G、H是四边形ABCD各边的中点，

则四边形EFGH是四边形ABCD的中点四边形。（如图1）

师：中点四边形EFGH是什么特殊的四边形？

（图1）

生：平行四边形。                                     

师：会证明吗？启发以中点为突破口，可否考虑使用三角形的中位线定理？

∥

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F

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E

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H

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G

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D

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C

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A

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B

∥

∥

生：连接对角线AC或BD。可得EF= AC,HG= AC 即EF=GH。

师：这是运用了平行四边形的哪个判定定理？

生：判定定理3（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。

（图2）

 

     结论一：中点四边形EFGH是平行四边形；（如图1）          

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F

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E

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H

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G

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D

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C

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A

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B

（激发学生继续运用观察、类比、发现、归纳等思想方法探究得到以下的结论）

结论二：若对角线AC和BD相等，则

中点四边形EFGH是菱形；(如图2) 

结论三：若对角线AC和BD互相垂直，

则中点四边形EFGH是矩形；（如图3）

 结论四：若对角线AC和BD互相垂直且相等，

则中点四边形EFGH是正方形；（如图4

实践证明：创设一个良好的情景，就会让学生深切感受到数学的真实、有趣，可以在第一时间吸引学生的注意力，激发他们的好奇心和求知欲。好比是给学生的发散思维上足了“发条”，学生将会自然而然地投入到学习活动中，并主动地、自发地继续前进。

二．应用探索，展现自我发展的平台

在活动中培养学生参与讨论问题，探究及自我反馈学习结果的主体意识，培养学生努力寻找解决问题的进取心，体验数学的应用价值。数学家波利亚说过：“重新组合的可能性是无限的困难的问题需要一种神奇的不寻常的崭新的组合，而解题者的才能就在于组合的独特性。”只要肯钻研，有发现就有创造！

结论五：利用结论一、二、三、四，可判断特殊四边形：

A.平行四边形   B.矩形    C.菱形   D.正方形

反过来，也可判断原四边形的对角线情况：

Ⅰ.相等   Ⅱ.垂直   Ⅲ.相等且垂直   Ⅳ.一般性

例1：在下列各题中，填上特殊四边形：

1.顺次连结矩形各边中点所得的四边形是   C 

2.顺次连结菱形各边中点所得的四边形是  B 

3.顺次连结平行四边形各边中点所得的四边形是   A  

4.顺次连结正方形各边中点所得的四边形是   D 

5.顺次连结梯形各边中点所得的四边形是   A   

6.顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是   C  

7.顺次连对对角线互相垂直的等腰梯形各边中点所得的四边形是   D  

8.顺次连结直角梯形各边中点所得的四边形是   A   

例2：在下列各题中，填原四边形对角线情况

1.顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形，则原四边形对角线是 Ⅳ

2.顺次连结四边形各边中点所得的四边形是矩形，则原四边形对角线是  Ⅱ 

3.顺次连结四边形各边中点所得的四边形是菱形，则原四边形对角线是  Ⅰ

4.顺次连结四边形各边中点所得的四边形是正方形，则原四边形对角线是   Ⅲ 

例3：不妨选取例1中题7进行证明

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F

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E

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H

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G

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D

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C

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A

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B

已知：（如图5）四边形EFGH是等腰梯形ABCD

的中点四边形，且AB∥CD，AC⊥BD。

求证：中点四边形EFGH是正方形。

证明：∵ABCD是等腰梯形, AB∥CD

∴AC=BD

又∵AC⊥BD

利用结论四，得

（图5）

∴中点四边形EFGH是正方形

三．转化探索，深入思考，开阔视野，拓宽思路

转化思想是数学的一种重要思想方法，是中学数学最基本的思想方法，也是中学数学教学的热点，更是中考命题多年来所坚持的方向。通过转化的方法化复杂为简单，化陌生为熟悉，把求多边形面积转化为求三角形面积，利用三角形的中线分三角形成等积的两个三角形和等底同高的两个三角形等积。老师对各层学生都要兼顾，让每一个学生的心里都能接受阳光；还要注意研究学生的接受方式和接受能力，引起学生对数学的兴趣，有助于进一步探索与应用。通过变式举例达到强化学生的转化意识，使学生形成一题多解、一题多变、一题多问的能力。

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E

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H

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G

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D

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C

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A

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B

在图1中，S_{四边形EFGH}= S_{四边形ABCD}

在上题中，撤去一个中点，作如图6连结，则有：

（图6）

结论六：S_△EGH= S_{四边形ABCD}

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E

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D

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C

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A

G

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B

 

在上题中，撤去二个中点，作如图7连结，则有：

结论七：S_{四边形AECG}= S_{四边形ABCD}

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E

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D

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C

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A

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B

（图7）

 

如果撤去另两个中点，作如图8连结，则有：

（图8）

结论八：S_{四边形AECH}= S_{四边形ABCD}

四．变式探索，激发求知的欲望

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H

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F

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D

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C

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A

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B

问题是思维的起点。通过问题激发学生的兴趣、好奇、探索和主动学习的欲望，养成归纳、整理、总结的好习惯。复习一些证明方法和重要定理，温故而知新，发展学生多角度的发散性思维的能力，体现问题的多面性。运用变式探索，确保学生参与数学活动的持续热情，实现不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的变式，揭示不同知识点内在联系的一种教学设计法。教师要善于从多方位、多角度，去联想、思考、探索，这样既加深了知识间的横向联系，又提高了学生的发展性思维的能力。

（图9）

如果撤去另两个中点，作如图9连结，

加上条件AB//CD，则可得到梯形中位线定理：

HF//AB，HF= （CD+AB）

，

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(  )

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H

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F

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C

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A

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B

若CD=0，则又可退化成三角形中位线定理：

HF//AB，HF= AB（如图10）

（图10）

 

如果撤去另两个中点，作如图11连结，加上条件

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G

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E

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D

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C

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A

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B

AC ⊥BC，BD⊥AD，则有

结论九：EG⊥CD

简证：连结ED、EC，可得DE= AB，CE= AB，

（图11）

即得△DEC为等腰三角形，根据“三线合一”，结论

即得证。

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E

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G

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F

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D

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C

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A

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B

 

如图12，四边形ABCD中，E、G是边AB，

∥

∥

CD中点，F是AC的中点，则有：

结论十：EF= BC，FG = AD

（图12）

在上题中加上条件AD=BC，则有：

结论十一： △EFG是等腰三角形

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E

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F

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G

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B

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D

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C

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